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算法基础:离散化及模板详解

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⭐写在前面的话:本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构,配以详细的图例解释,总结相应的代码模板,同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的C++基础的学习者。若C++基础不牢固,可参考:10min快速回顾C++语法,进行语法复习。

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算法基础:离散化及模板详解

离散化

基本思想

首先,离散化是指数值域非常大,例如

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,但是个数相对较少,例如只有

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个, 但在我们的程序中需要通过这些数值作为下标,且依赖的是这些数值之间的顺序关系(当然通常这些数是有序的)。如果为了这

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个数而开一个

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的数组过于浪费空间,因此我们可以采用离散化的方法,将这些数映射到

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上,这个过程就叫做离散化。

注意:这里的映射数字指的是元素的下标数字,而非元素本身的数值。

算法思路

对于有序数组进行映射,其基本思路如下:

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针对可能存在的两个问题,有以下的解决方法:

1.数组中可能存在重复元素 ==> 对数组进行去重

常见写法:用cpp中的库函数来实现。

unique函数:将数组中的元素去重,并且返回去重后数组的尾端点。

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vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素

2.如何算出x离散化后的值 ==> 用二分法

int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
// 映射到1, 2, ...n
// 不加1的话是从0开始映射。
return r + 1;
}

模板

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
// 映射到1, 2, ...n
// 不加1的话是从0开始映射。
return r + 1;
}

例题:区间和

假定有一个无限长的数轴,数轴上每个坐标上的数都是 0。

现在,我们首先进行 n 次操作,每次操作将某一位置 x 上的数加c。

接下来,进行 m 次询问,每个询问包含两个整数 l 和 r,你需要求出在区间 [l,r]之间的所有数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 n 行,每行包含两个整数 x 和 c。

再接下来 m 行,每行包含两个整数 l 和 r。

输出格式

共 m 行,每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围

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输入样例

3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8

输出样例

8
0
5
题目分析

数据范围很大,因此不能用哈希表,并且数轴上的数字是离散的,整体是稀疏的,我们可以采用离散化的方式进行映射。

  • add : 保存真实的下标和相应的值
  • alls : 用来保存真实的下标和映射的下标的关系
  • query : 用来保存查询的左右两个端点
  • a : 保存映射的坐标所对应的值
  • s: 保存映射的坐标所对应的值的前缀和

第一步: 输入数轴上所对应的值

for(int i=0;i<n;i++)
{
int index,x; cin>>index>>x;
add.push_back({index,x});//index 是我们真实的下标 x是数值
alls.push_back(index);// 将真实的下标和我们想象的坐标建立映射关系
}

第二步: 输入我们的查询的区间

for(int i=0;i<m;i++)
{
int l,r; cin>>l>>r;
query.push_back({l,r});//保存查询的区间

alls.push_back(l);
//将其左右端点也映射进来,目的是可以让我们在虚拟的映射表里找到,这对于我们后面的前缀和操作时是十分的方便的。
//如果当我们在虚拟的映射表里找的时候,如果没有找到左右端点,那么前缀和无法求。
alls.push_back(r);
}

第三步: 将虚拟的坐标排序并去重

为啥去重: 是因为当我们输入 3 5 3 6 即给数轴上3的点加5 再加 6时。此时我们的坐标映射表里有了两个3 3 但其实它们对应的是同一个坐标。故需要去重,排序。

sort(alls.begin(), alls.end());//排序
alls.erase(unique(alls), alls.end());//去重(坐标)

第四步:根据真的坐标,来找到对应虚拟的坐标,将其位置加上其相对应的数值。 根据真的坐标找其对应的映射的坐标,用二分来查找。

int find(int x)
{
int l=0,r=alls.size()-1;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(alls[mid]>=x) r=mid;
else l=mid+1;
}
return l+1;// 因为要求前缀和,故下标从1开始方便,不用额外的再处理边界。
}

for(int i=0;i<add.size();i++)
{
int x=find(add[i].first);
a[x]+=add[i].second;
}

最后一步: 求前缀和,根据我们的查询的区间来输出区间的和

for(int i=1;i<=alls.size();i++) s[i]=s[i-1]+a[i];

for(int i=0;i<query.size();i++)
{
int l=find(query[i].first),r=find(query[i].second);
cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
}
code
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int>PII;

const int N = 300010;

int n,m;
int a[N],s[N];// a[N]是储存的数组,s[N]储存前缀和

vector<int> alls;
// 定义了两个pair的变量,add和query。
vector<PII> add, query;

int find(int x)
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while(l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x)r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1;
}

int main()
{
cin >> n >> m;
// 对数字与坐标输入
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int x,c;
cin >> x >> c;
add.push_back({x, c});

alls.push_back(x);
}
// 对左右边界输入
for(int i = 0; i < m; i++)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
query.push_back({l, r});

alls.push_back(l);
alls.push_back(r);

}
// 进行去重
sort(alls.begin(), alls.end());
alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()), alls.end());
// 遍历add
for(auto item : add)
{
// 找到该值的位置
int x = find(item.first);
// 用数组存储该值,相当于在空数组上加上这个数字
a[x] += item.second;
}
// 前缀和数组
for(int i = 1; i <= alls.size(); i++)s[i] = s[i - 1] + a[i];

for(auto item : query)
{
// 找到左右边界的位置
int l = find(item.first), r = find(item.second);
// 输出该段的和
cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
}
return 0;

}

注意:经过此过程,alls数组上只有要添加的值与区间的边界。

上面是c++的写法,通常在Java和Python中也可以自己实现这种去重的unique算法。可以采用双指针算法实现。

写一个迭代器数组,双指针判断,遍历数组,如果元素不是首数字且不和后一位相同,则记录在a[j]数组中。

注意是在同一个数组中操作的,但是可以保证去重数组长度始终小于等于原数组。最后返回a[0] ~ a[j – 1]即可。

vector<int>::iterator unique(vector<int> &a)
{
int j = 0;
for(int i = 0; i < a.size(); i++)
{
if(!i || a[i] != a[i - 1])
a[j++] = a[i];
}
// 在a[0] ~ a[j - 1]有所有a中不重复的数
return a.begin() + j;
}
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作者: 一航技术

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